فرمول اتحاد جمله مشترک


فرمول اتحاد جمله مشترک

در این آموزش از مجله فرادرس، با اتحاد جمله مشترک آشنا می‌شویم. همچنین، روش اثبات آن و مثال‌های متنوعی را ارائه می‌کنیم.


پخش آنلاین ویدئو

در آموزش‌های پیشین مجله فرادرس، با اتحاد و تجزیه در ریاضی آشنا شدیم. همچنین، برخی از اتحادها، مانند اتحاد مکعب دوجمله‌ای، اتحاد مکعب، اتحاد چاق و لاغر و اتحاد مزدوج را معرفی کردیم و در مطلبی به حل نمونه سؤالات اتحاد و تجزیه پرداختیم. اتحاد جمله مشترک یکی از رایج‌ترین اتحادهای جبری است که در این آموزش مطالبی را درباره آن بیان می‌کنیم.

اتحاد چیست؟

در ادامه، با اتحاد جمله مشترک آشنا می‌شویم و مثال‌های متنوعی را از کاربرد آن بررسی خواهیم کرد.

اتحاد جمله مشترک چیست؟

اتحاد جمله مشترک، که در حقیقت ضرب دو دوجمله‌ای است، به‌صورت نوشته می‌شود:

در اتحاد بالا، $$ x $$ متغیر و $$a $$ و $$ b $$ اعدادی ثابت هستند.

اثبات اتحاد جمله مشترک

یک راه برای اثبات اتحاد این است که هردو طرف را ساده کنیم. بار دیگر اتحاد را درنظر بگیرید:

$$ la ge ( x a ) ( x b ) = x ^ 2 ( a b ) x a b $$

ابتدا سمت چپ تساوی را با ضرب جمله‌ها در یکدیگر، ساده می‌کنیم:

$$ la ge begi alig * ( x a ) ( x b ) = x cdo x x cdo b a cdo x a cdo b = x ^ 2 ax bx ab e d alig * $$

اکنون سمت راست را ساده می‌کنیم:

$$ la ge begi alig * x ^ 2 ( a b ) x a b = x ^ 2 a cdo x b cdo x ab = x^ 2 a x b x a b e d alig * $$

همان‌طور که می‌بینیم، ساده‌سازی دو طرف به نتیجه یکسانی ختم شده است.

برای آشنایی با مباحث ریاضیات دبیرستان، پیشنهاد می‌کنیم به مجموعه آموزش‌های دروس دبیرستان و پیش دانشگاهی فرادرس مراجعه کنید که لینک آن در ادامه آورده شده است.

تعبیر هندسی اتحاد جمله مشترک

برای تعبیر هندسی اتحاد جمله مشترک و اثبات آن از این طریق، شکل زیر را در نظر بگیرید.

عبارت $$ ( x a ) ( x b ) $$ چیزی نیست جز مساحت مستطیلی که اضلاع آن به ترتیب $$ ( x a ) $$ و $$ ( x b ) $$ هستند. مساحت مستطیل با اضلاع $$ ( x a ) $$ و $$ ( x b ) $$ همچنین، از مجموع مساحت‌های مستطیل‌های $$ax$$، $$bx$$، $$ab$$ و مساحت مربع $$ x ^ 2 $$ ست. با جمع همه این مساحت‌ها، $$ x ^ 2 a x b x a b $$ را داریم. این یعنی اینکه تساوی زیر برقرار است:

$$ la ge ( x a ) ( x b ) = x ^ 2 a x b x a b = x ^ 2 ( a b ) x a b $$

و بدین ترتیب، اثبات کامل می‌شود.

کابرد اتحاد جمله مشترک

در این بخش، برخی از کاربردهای اتحاد جمله مشترک را بیان می‌کنیم.

تجزیه عبارت جبری

یکی از کاربردهای اتحاد جمله مشترک، فاکتورگیری و تجزیه عبارت‌های جبری است. به‌طور دقیق‌تر، فرض کنید چندجمله‌ای درجه دوم زیر را داریم و می‌خواهیم تجزیه‌اش کنیم:

$$ la ge x ^ 2 c x d $$

اگر دو عدد $$a$$ و $$ b $$ را به‌گونه‌ای پیدا کنیم که $$ a b = c $$ و $$ a b = d $$، آنگاه می‌توان عبارت را با استفاده از اتحاد جمله مشترک به‌شکل زیر تجزیه کرد:

$$ la ge x ^ 2 c x d = (x a ) ( x b ) $$

که در آن، $$ a b = c $$ و $$ a b = d $$.

یافتن ریشه‌های معادله

فرض کنید معادله زیر داده شده است:

$$ la ge x ^ 2 c x d =0 $$

همان‌طور که می‌دانیم، حل این معادله با فرمول ممکن است به‌طول بینجامد. یک راه ساده برای یافتن ریشه‌های معادله، تجزیه آن است. بدین صورت که اگر بتوانیم دو عدد $$ a $$ و $$ b $$ را به‌گونه‌‌ای بیابیم که $$ a b = c $$ و $$ a b = d $$، آنگاه می‌توان معادله را به‌صورت زیر نوشت:

$$ la ge x ^ 2 c x d = (x a ) ( x b ) =0 $$

در این صورت، جواب‌های معادله $$ x = -a $$ یا $$ x = – b $$ خواهند بود.

ضرب دوجمله‌ای‌ها

وقتی دو دوجمله‌ای $$ (x a ) $$ و $$ ( x b ) $$ را داشته باشیم، برای ضرب آن‌ها دیگر نیازی به ضرب تک‌تک جملات نیست و کافی است حاصل را به‌صورت زیر بنویسیم:

$$ la ge ( x a ) ( x b ) = x ^ 2 ( a b ) x a b $$

اتحاد جمله مشترک با ضریب

آنچه تاکنون دیدیم، عبارت‌هایی بود که در آن، ضریب $$ x ^ 2 $$ برابر با $$ ۱ $$ بود. گاهی پیش می‌آید که ضریب $$ x ^ 2 $$ عددی غیر از $$۱$$ است و در این موارد می‌توانیم با توجه به ضرایب عبارت، تغییرات لازم را انجام دهیم و آن را به‌فرمی که استاندارد است درآوریم. یک راه برای تبدیل عبارت در این حالت به فرم استاندارد، این است که ضریب $$ x ^ 2 $$ را به عدد تبدیل کنیم که مربع کامل است. با یک مثال این فرایند را توضیح می‌دهیم.

عبارت زیر را درنظر بگیرید:

$$ la ge 3 x ^ 2 8 x 5 $$

در اینجا ضریب $$ x ^ 2 $$ عدد $$ ۳ $$ است. برای آنکه این ضریب را به یک عدد مربع کامل تبدیل کنیم، می‌توانیم آن را در $$ ۳ $$ ضرب کنیم تا به $$ ۹ $$ تبدیل شود. دقت کنید که برای آنکه ضرب عدد $$ ۳$$ در عبارت خنثی شود، باید آن را بر $$ ۳ $$ تقسیم کنیم:

$$ la ge begi alig ed 3 x ^ 2 8 x 5 =f ac 33 (3 x ^ 2 8 x 5) = f ac 1 3 lef ( 9 x ^ 2 24 x 15 igh ) = f ac 1 3 lef ( 3 x ) ^ 2 8 ( 3 x ) 15 igh e d alig ed $$

بنابراین، عبارت اصلی را به عبارت زیر تبدیل کردیم که به‌فرم استاندارد برای اتحاد جمله مشترک است و جمله مشترک در اینجا $$ ۳ x $$ است:

$$ la ge begi alig ed = f ac 1 3 lef ( 3 x ) ^ 2 8 ( 3 x ) 15 igh = f ac 13 (3x a ) (3x b ) e d alig ed $$

اکنون باید دو عدد $$ a $$ و $$ b $$ را به گونه‌ای تعیین کنیم که $$ a b = 8 $$ و $$ ab = 15 $$ شود. می‌بینیم که دو عدد $$ a = 3 $$ و $$ b = 5 $$ هستند و در نهایت، خواهیم داشت:

$$ la ge begi alig ed 3 x ^ 2 8 x 5 = f ac 13 (3x 3 ) (3x 5 ) = ( f ac 13) ( 3 ) ( x 1 ) ( 3 x 5) = (x 1 ) ( 3x 5 ) e d alig ed $$

مثال‌های اتحاد جمله مشترک

در این بخش، مثال‌های متنوعی را از اتحاد جمله مشترک و کاربردهای آن حل می‌کنیم.

مثال اول اتحاد جمله مشترک

حاصل‌ضرب دو عبارت $$ ( a 2 ) $$ و $$ ( a 10 ) $$ را بنویسید.

حل: از اتحاد جمله مشترک استفاده می‌کنیم. جمع دو عدد $$ ۲ $$ و $$ ۱۰$$ برابر با $$ ۱۲ $$ است و حاصل‌ضربشان $$ ۲۰$$. بنابراین، حاصل‌‌ضرب دو عبارت به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ la ge ( a 2 ) ( a 10 ) = a ^ 2 (2 10) a (2)(10) = a^ 2 12 a 20 $$

مثال دوم اتحاد جمله مشترک

حاصل عبارت زیر را محاسبه کنید:

$$ la ge (y ^ 2 5 ) (y ^ 2 -1) $$

حل: شاید ظاهر این عبارت با آنچه دیدیم، فرق کند. اما در اینجا نیز می‌توانیم به‌راحتی از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم. در اینجا، $$ y ^ 2 $$ ر ابرابر با متغیری مانند $$ x $$ درنظر می‌گیریم. بدین ترتیب، عبارت زیر را خواهیم داشت:

$$ la ge (x 5 ) (x -1) $$

طبق اتحاد جمله مشترک، عبارت اخیر به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ la ge x ^ 2 ( 5 – ۱ ) x (5) (-1) = x ^ 2 4 x – ۵ $$

اکنون $$ x = y ^ 2 $$ را جایگذاری می‌کنیم . نتیجه نهایی به‌صورت زیر خواهد بود:

$$ la ge (y ^ 2) ^ 2 4 (y ^ 2 ) – ۵ = y ^ 4 4 y ^ 2 – ۵ $$

مثال سوم اتحاد جمله مشترک

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید:

$$ la ge ( a x 2 a ) ( b x – ۳ b ) $$

حل: این عبارت را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

$$ la ge ( a x 2 a ) ( b x – ۳ b ) = a (x 2 ) imes b ( x – ۳ ) $$

بنابراین، می‌توان عبارت را این‌گونه بیان کرد:

$$ la ge a b (x 2 ) ( x – ۳ ) $$

با استفاده از اتحاد جمله مشترک، عبارت به‌صورت زیر درمی‌آید:

$$ la ge a b (x ^ 2 – x – ۶ ) = ab x^ 2 – abx – ۶ab $$

مثال چهارم اتحاد جمله مشترک

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$ la ge 2 x ^ 2 – ۲x -24 $$

حل: ابتدا از $$ ۲$$ فاکتور می‌گیریم و عبارت را به‌صورت زیر می‌نویسیم:

$$ la ge 2( x ^ 2 – x -12 ) $$

باید ببینیم که می‌توانیم دو عدد را پیدا کنیم که جمعشان $$ – ۱ $$ و ضربشان $$ ۱۲ $$ شود؟ بله، این دو عدد $$ – ۴ $$ و $$ ۳ $$ هستند. پس، عبارت به‌صورت زیر تجزیه می‌شود:

$$ la ge 2 x ^ 2 – ۲ x – ۲۴ = ۲ (x – ۴ ) ( x 3 ) $$

مثال پنجم اتحاد جمله مشترک

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$ la ge 3 x ^ 4 – ۳ x ^ 3 – ۳ ۶ x ^ 2 $$

حل: همان‌طور که می‌بینید، $$ ۳x^2$$ در همه جملات وجود دارد. بنابراین، می‌توان از آن فاکتور گرفت و نوشت:‌

$$ la ge 3 x ^ 4 – ۳ x ^ 3 – ۳ ۶ x ^ 2 = 3 x ^ 2 lef ( x ^ 2 – x – ۱ ۲ igh ) $$

با کمک اتحاد جمله مشترک، درنهایت، چندجمله‌ای به‌صورت زیر تجزیه می‌شود:

$$ la ge 3 x ^ 4 – ۳ x ^ 3 – ۳ ۶ x ^ 2 = 3 x ^ 2 lef ( x – ۴ igh ) lef ( x 3 igh ) $$

مثال ششم اتحاد جمله مشترک

عبارت زیر را تجزیه کنید.

$$ la ge x ^ 2 2 x – ۱ ۵ $$

حل: از آنجا که جمله اول $$ x ^ 2 $$ است، می‌توان حدس زد که باید به‌شکل زیر باشد:

$$ la ge x ^ 2 2 x – ۱ ۵ = lef ( x u de li e ,,,, igh ) lef ( x u de li e ,,,, igh ) $$

از طرفی، می‌دانیم که $$ x ^ 2 $$ از ضرب $$ x $$ در $$ x $$ حاصل می‌شود. بنابراین، اولین جمله هر فاکتور یا عامل را برابر با $$ x $$ قرار می‌دهیم. حال باید دو جمله دیگر را تعیین کنینیم که جای خالی برای آن‌ها قرار داده‌ایم.

یک راه پیش‌ِرو این است که حالت‌های ممکن را بررسی کنیم. اگر به چندجمله‌ای دقت کنید، یک عدد $$ – ۱۵ $$ دارد. برای آنکه از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم، باید دو عدد را پیدا کنیم که حاصل‌ضربی برابر با $$ – ۱۵ $$ داشته باشند. در اینجا اعداد صحیح را بررسی می‌کنیم. ضرب‌های زیر به $$ – ۱۵ $$ می‌انجامند:

$$ la ge lef ( – ۱ igh ) lef ( 1 5 igh ) hspace0.25i lef ( 1 igh ) lef ( – ۱ ۵ igh ) hspace0.25i lef ( – ۳ igh ) lef ( 5 igh ) hspace 0.25i lef ( 3 igh ) lef ( – ۵ igh ) $$

می‌توانیم چهار حالت ممکن بالا را آزمایش کرده و جواب درست را پیدا کنیم. اگر کمی دقت کنیم، می‌توانیم سه مورد از احتمالات بالا را حذف کنیم. بدین صورت که مجموع دو عددی که انتخاب می‌کنیم باید برابر با ضریب $$ x $$ چندجمله‌ای باشد.

با توجه به آنچه گفتیم، چندجمله‌ای به صورت زیر تجزیه می‌شود:

$$ la ge x ^ 2 2 x – ۱ ۵ = lef ( x – ۳ igh ) lef ( x 5 igh )$$

پس به طور خلاصه، در مواردی که می‌خواهیم یک چندجمله‌ای مرتبه دوم را تجزیه کنیم، باید دو عدد را پیدا کنیم که حاصل‌ضرب آن‌ها برابر با عدد موجود در چندجمله‌ای بوده و حاصل‌جمع آن‌ها برابر با ضریب $$ x $$ چندجمله‌ای باشد. در واقع، این همان اتحاد جمله مشترک است که از آن استفاده می‌کنیم.

مثال هفتم اتحاد جمله مشترک

حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$$ la ge (x – ۲ ) ( x 1 ) ( x ^ 2 – x 3 ) $$

حل: همان‌طور که می‌بینیم، انجام ضرب مستقیم این سه عبارت کار دشواری است. بنابراین، تا جای که می‌توانیم آن را ساده می‌کنیم. احتمالاً بتوانیم عبارت‌های مشترکی بین پرانتزها پیدا کنیم. حاصل‌ضرب $$ (x – ۲ ) ( x 1 ) $$ را را با کمک اتحاد جمله مشترک می‌توانیم به‌صورت زیر بنویسیم:

$$ la ge (x – ۲ ) ( x 1 ) = x ^ 2 – x – ۲ $$

پس، می‌توان نوشت:

$$ la ge (x – ۲ ) ( x 1 ) ( x ^ 2 – x 3 ) = (x ^ 2 – x – ۲ ) ( x ^ 2 – x 3 ) $$

می‌بینیم که $$ x ^ 2 – x $$ بین دو عبارتی که در هم ضرب شده‌اند مشترک است. باز هم از اتحاد جمله مشترک کمک می‌گیریم و می‌نویسیم:

$$ la ge begi alig * (x ^ 2 – x – ۲ ) ( x ^ 2 – x 3 ) = x^2 – x ^ 2 (-2 3) x ^ 2 – x (-2) (3) = (x ^ 2 )^ 2 -2 (x^2) ( x) (x) ^ 2 1 (x ^ 2 – x ) -6 = x ^ 4 -2x^ 3 x^ 2 x^ 2- x – ۶ = x ^ 4 -2x^ 3 2 x ^ 2 – x -6 e d alig * $$

مثال هشتم اتحاد جمله مشترک

چندجمله‌ای $$ ۶ x ^ 2 – ۵ x – ۶ $$ را تجزیه کنید.

حل: همان‌طور که می‌بینیم، ضریب $$ x ^ 2 $$ برابر با $$ ۱ $$ نیست. پس باید تغییراتی ایجاد کنیم و چندجمله‌ای را به فرم استاندارد تبدیل کنیم. بدین منظور، معادله را در $$ ۶ $$ ضرب می‌کنیم و بر آن تقسیم می‌کنیم:

$$ la ge begi alig ed 6 x ^ 2 – ۵ x – ۶ = f ac 66 6 x ^ 2 – ۵ x – ۶ = f ac 16 ( 36 x ^ 2 – ۳۰ x – ۳۶ e d alig ed $$

بنابراین، خواهیم داشت:

$$ la ge begi alig ed f ac 16 ( 36 x ^ 2 – ۳۰ x – ۳۶ = f ac 16 ( 6 x ) ^ 2 – ۵ ( ۶x) – ۳۶ = f ac 16 (6 x – ۹ ) (۶ x 4 ) = f ac 16 (3) (2 x – ۳ ) (۲ )(۳x 2 ) = (2 x – ۳ ) (۳ x 2 ) e d alig ed $$

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم

برای آشنایی بیشتر با مباحث درس ریاضی پایه هفتم، پیشنهاد می‌کنیم فیلم آموزش ریاضی پایه هفتم فرادرس را مشاهده کنید که در ۱۳ ساعت و ۳ دقیقه تدوین شده و همه مباحث ۱۴ درس کتاب درسی را به‌طور کامل پوشش می‌دهد. در فصل یکم این آموزش، راهبردهای حل مسئله معرفی می‌شود. فصل دوم درباره عددهای صحیح است. فصل سوم درباره جبر و معادله است. در فصل چهارم به هندسه و استدلال پرداخته شده است. موضوع فصل ششم سطح و حجم است. در فصل هفتم به توان و جذر پرداخته شده است. فصل هشتم به بردار و مختصات اختصاص یافته است و در نهایت، آمار و احتمال در فصل نهم معرفی می‌شود.

معرفی فیلم آموزش ریاضی پایه دانشگاهی

یکی از آموزش‌هایی که برای آشنایی بیشتر با مبحث اتحاد و تجزیه می‌توانید به آن مراجعه کنید، آموزش ریاضی پایه دانشگاهی است. این آموزش که مدت آن ۱۲ ساعت و ۴۶ دقیقه است، در قالب ۱۰ درس تهیه شده است.

در درس اول، مجموعه‌ها، مجموعه اعداد، توان، ب.م.م و ک.م.م معرفی شده‌اند. موضوعات درس دوم، چندجمله‌ای‌ها و اتحاد و تجزیه است. در درس سوم، نامساوی‌ها، نامعادلات، طول پاره‌خط، ضریب زاویه و معادله خط مورد بحث قرار گرفته‌اند. مثلثات موضوع مهم درس چهارم است. تصاعد حسابی و هندسی در درس پنجم بررسی شده‌اند. تابع و دامنه و برد آن موضوعات مهم درس ششم هستند. در درس هفتم، تساوی دو تابع، اعمال جبری روی تابع و ترکیب توابع ارائه شده‌اند. در درس هشتم به توابع زوج و فرد، تابع یک به یک و تابع وارون پرداخته شده است. انواع توابع از قبیل تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، تابع قدر مطلق و تابع جزء صحیح موضوع درس نهم هستند. در نهایت، در درس دهم توابع نمایی و لگاریتمی مورد بحث قرار گرفته‌اند.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌ها و مطالب زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

سید سراج حمیدی ( )

سید سراج حمیدی دانش‌آموخته مهندسی برق است و به ریاضیات و زبان و ادبیات فارسی علاقه دارد. او آموزش‌های مهندسی برق، ریاضیات و ادبیات مجله فرادرس را می‌نویسد.

در مطالب قبلی وبلاگ فرادرس، چند جمله‌ای‌ها و تجزیه کسر‌ها مورد مطالعه قرار گرفت. همانطور که در این مطالب نشان داده شد، تجزیه یک کسر، کاربرد زیادی در محاسبه انتگرال دارد. همچنین اشاره شد که برای تجزیه کسر، باید مخرج آن را به صورت حاصل ضرب چند عبارت در یکدیگر بنویسیم. این عمل به کمک روابط و روش‌های ارائه شد در مبحث اتحاد و تجزیه انجام می‌شود.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

برای مشاهده ویدیوها کلیک کنید.

اتحادها روابطی هستند که به کمک آن‌ها می‌توان حاصل ضرب دو عبارت در یکدیگر را سریع‌تر محاسبه کرد. نکته دیگر این است که با استفاده از فرمول اتحاد‌ها (مانند اتحاد چاق و لاغر) می‌توان، یک عبارت پیچیده را به صورت حاصل ضرب چند عبارت ساده‌تر نوشت.

این مطلب ابتدا به صورت دقیق، مفهوم فاکتور را مورد بررسی قرار می‌دهد. سپس روش‌های فاکتورگیری رایج برای تجزیه یک رابطه، نشان داده می‌شوند و با استفاده از مثال، شیوه استفاده از این روش‌ها نیز مورد مطالعه قرار می‌گیرد. در ادامه مطلب، اتحاد‌های مختلف موجود در ریاضیات و روابط آن‌ها بیان می‌شوند و در نهایت به کمک چند مثال، روند کلی برای حل مسائل اتحاد و تجزیه به صورت دقیق مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

فاکتورها

همانطور که اشاره شد، اولین مفهوم در مبحث اتحاد و تجزیه، فاکتور است. فاکتور اصطلاحی است که می‌توان آن را برای اعداد و چند جمله‌ای‌ها به کار برد. برای مثال عدد ۶ حاصل ضرب دو عدد ۲ و ۳ است. در واقع هرکدام از این دو عدد، یکی از فاکتورهای عدد ۶ در نظر گرفته می‌شود. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

حال، یک چند جمله‌ای با رابطه $$x^2 4x 3$$ را در نظر بگیرید. این چند جمله‌ای نیز  فاکتورهایی دارد. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

همانطور که در رابطه بالا مشاهده می‌شود، یک چند جمله‌ای را می‌توان به صورت حاصل ضرب دو عبارت نوشت که در این حالت، هرکدام از این دو عبارت، یک فاکتور برای چند جمله‌ای اولیه محسوب می‌شود. نکته دیگری که باید به آن توجه کرد این است که دو فرایند فوق را فاکتورگیری می‌نامند. در واقع به فرایند مشخص کردن فاکتورهای مختلف یک عدد یا چند جمله‌ای، فاکتورگیری می‌گویند.

فاکتورگیری و تجزیه

همانطور که اشاره شد، فاکتورگیری یک فرایند است که طی آن فاکتورهای یک عدد، یک چندجمله‌ای و یک عبارت مشخص می‌شود. در واقع فرایند یافتن فاکتورها و اجزایی که ضرب آن‌ها برابر با عبارت اولیه می‌شود را فاکتورگیری می‌نامند.

توجه کنید که به فرایند فاکتورگیری، تجزیه نیز می‌گویند زیرا طی آن، یک عبارت به صورت حاصل ضرب چند عبارت دیگر نوشته و تجزیه می‌شود. در ادامه، این مفهوم به کمک یک مثال مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

مثال

عبارت زیر را تجزیه کنید یا به عبارت دیگر آن را به صورت حاصل ضرب عوامل سازنده‌اش بنویسید.

با دقت به رابطه بالا، متوجه می‌شویم که هر دو عبارت ۲y و ۶، شامل ضریب ۲ هستند. در واقع ۲y برابر با حاصل ضرب ۲ در y است (y×۲) و ۶ را می‌توان به صورت ۲×۳ نوشت. بنابراین با توجه به نکته‌ای که بیان شد، از ضریب دو در رابطه فوق می‌توان فاکتورگیری کرد و رابطه بالا را به فرم زیر تجزیه کرد.

بنابراین ۲y 6 شامل دو فاکتور ۲ و y 3 است.

نکته مهم دیگری که باید به آن اشاره کرد این است که فاکتورگیری و تجزیه دقیقا مفهومی مقابل با گسترش و بسط دارند. مقایسه دو مفهوم گسترش و فاکتورگیری در شکل زیر به خوبی نشان داده شده است.

فاکتورهای رایج در مبحث اتحاد و تجزیه

در بخش قبل نشان داده شد که عدد ۶ و عبارت ۲y، یک فاکتور مشترک دارند که این فاکتور مشترک برابر با ۲ است. برای آنکه عمل تجزیه و فاکتورگیری را به درستی و با صرف کمترین زمان انجام دهیم، لازم است که با تعداد زیادی از این فاکتورها آشنا باشیم که در این بخش، برخی از این فاکتورهای رایج را بیان می‌کنیم.

مثال

فرم تجزیه شده عبارت زیر را بنویسید.

نکته بسیار مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که دو عدد موجود در رابطه بالا یعنی ۳ و ۱۲، ضریبی از عدد ۳ هستند. بنابراین یکی از فاکتورهای عبارت بالا، برابر با عدد ۳ است که با استفاده از آن می‌توان رابطه موجود در صورت سوال را به فرم ساده شده زیر نمایش داد.

اما این رابطه را هنوز می‌توان به فرم ساده‌تری نوشت و آن را تجزیه کرد. با دقت به رابطه بالا می‌توان متوجه شد که عبارت y در هر دو عبارت y2 و ۴y مشترک است. بنابراین این رابطه را در نهایت می‌توان به شکل تجزیه شده زیر بیان کرد.

درستی عبارت تجزیه شده را می‌توان با استفاده از روند زیر مورد بررسی قرار داد.

در ادامه این مطلب، فرایند تجزیه و فاکتورگیری را برای روابط و چند جمله‌ای‌های پیچیده‌تری مورد بررسی قرار می‌دهیم.

تجزیه و فاکتورگیری از عبارات پیچیده

توجه کنید که عملیات تجزیه و فاکتورگیری یک رابطه، تنها شامل عبارات ساده مانند مثال‌های بخش قبل نیست و می‌تواند عملیات سخت و پیچیده‌ای را در بر بگیرد. دلیل پیچیدگی عملیات تجزیه و فاکتورگیری یک رابطه، این است که ما به دنبال عوامل و فاکتورهایی هستیم که با ضرب آن‌ها در یکدیگر، رابطه اولیه به دست می‌آید.

برای درک بهتر، ما به دنبال اجزای مختلف یک کیک هستیم که با بهم پیوستن آن‌ها، کیک خوشمزه تولید شده است. این موضوع را می‌توان به شکل زیر نمایش داد.

اما خبر خوب این است که هرچه تجربه و تمرین شما بیشتر باشد، فاکتورگیری کردن و تجزیه یک رابطه نیز برای شما راحت‌تر خواهد بود و با سرعت بیشتری روابط مختلف را تجزیه و فاکتورگیری می‌کنید. بنابراین برای تمرین بیشتر به مثال زیر توجه کنید.

مثال

عبارت زیر را تجزیه (فاکتورگیری) کنید.

همانطور که مشاهده می‌شود، عبارات رایج فاکتورگیری (وجود یک ضریب مشترک در هر دو بخش رابطه یعنی ۴×۲ و ۹) در این رابطه مشاهده نمی‌شوند. بنابراین ما نیاز به استفاده از سایر روابط موجود در ریاضیات داریم. در ریاضیات، رابطه اتحاد مزدوج را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

بنابراین رابطه ابتدای این مثال را طوری بازنویسی می‌کنیم که مشابه با رابطه بالا باشد. این موضوع در رابطه زیر به خوبی نشان داده شده است.

در واقع عبارت $$۴x^2 $$ را می‌توان به فرم $$(۲x)^2$$ نوشت. همچنین می‌دانیم که عدد ۹ برابر با ۳۲ است. بنابراین رابطه صورت سوال به شکل زیر در می‌آید.

در ادامه رابطه فوق را به شکل اتحاد مزدوج بازنویسی می‌کنیم. مقدار a و b در رابطه اتحاد مزدوج به ترتیب برابر با ۲x و ۳ است. بنابراین با قرار دادن این دو مقدار در رابطه اتحاد مزدوج، رابطه زیر به دست می‌آید.

همانطور که مشاهده می‌شود فاکتورهای عبارت صورت سوال (رابطه $$۴x^2 – ۹$$)، برابر با $$(۲x 3)$$ و $$(۲x-3)$$ هستند. بنابراین پاسخ مسئله به شکل زیر بیان می‌شود.

در واقع برای فاکتورگیری و محاسبه تجزیه یک عبارت، باید تمرین بسیار زیاد کنیم و با فرمول‌های انواع اتحاد نیز آشنایی داشته باشیم. در واقع با بیان انواع اتحاد‌ها شما با مبحث اتحاد و تجزیه به صورت کامل آشنا خواهید شد. در ادامه این اتحادها به صورت دقیق مورد بررسی قرار می‌گیرد.

انواع اتحادها

در ادامه لیستی از اتحادهای رایج در ریاضیات بیان می‌شوند. با استفاده از این اتحاد‌ها می‌توان تجزیه عبارات مختلف را به خوبی انجام داد. توجه کنید که مبحث اتحاد و تجزیه کاربرد بسیار زیادی در تجزیه کسرها و محاسبه انتگرال به کمک کسرهای جزئی نیز دارد.

نکته دیگری که می‌توان به آن اشاره کرد این است که با استفاده از این اتحاد‌ها، بسیاری از معادلات مختلف در ریاضیات را می‌توانیم به شکل راحت‌تری مورد مطالعه قرار دهیم. در واقع پاسخ یک معادله به کمک اتحادهای زیر به سرعت قابل محاسبه است.

اتحاد مربع دو جمله‌ای

این اتحاد را می‌توان به عنوان شکل دیگری از معادله درجه دو بیان کرد. در واقع عبارت $$(a-b)^2$$ را می‌توان به صورت حاصل ضرب $$(a-b)$$ در خودش نوشت. بنابراین اتحاد مربع دو جمله‌ای زمانی که $$(a-b)^2$$ و $$(a b)^2$$ داشته باشیم را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

اتحاد مربع سه جمله‌ای

اتحاد مربع دو جمله‌ای، حالتی را نشان می‌داد که مجموع یا تفاضل دو جمله a و b، به توان دو رسیده باشند. بنابراین به صورت مشابه می‌توان اتحاد مربع سه جمله‌ای را مورد بررسی قرار داد. اتحاد مربع سه جمله‌ای، حالتی را نشان می‌دهد که مجموع سه جمله b ،a و c به توان دو رسیده باشد. فرمول این اتحاد در رابطه زیر نشان داده شده است.

توجه کنید که حالت منفی عبارت فوق یعنی ۲(a b-c) کاربرد زیادی در مسائل ندارد ولی پیشنهاد می‌شود، این عبارت یعنی ۲(a b-c) را به عنوان تمرین محاسبه کنید.

اتحاد مکعب دو جمله‌ای

اتحاد پرکاربرد دیگر در ریاضیات، اتحاد مکعب دو جمله‌ای است. این اتحاد، مجموع یا تفاضل دو عبارت a و b را به توان سه می‌رساند. کاربرد زیاد این اتحاد در مباحث مرتبط با اتحاد و تجزیه باعث شده است که بتوانیم آن را به شکل زیر و به عنوان یکی از اتحادهای رایج بیان کنیم.

توجه کنید که به رابطه اول، مکعب مجموع دو جمله‌ای و به رابطه دوم مکعب تفاضل دو جمله‌ای نیز می‌گویند.

اتحاد چاق و لاغر

اتحاد چاق و لاغر از یک جمله کوچک (لاغر) و یک جمله بزرگ (چاق) تشکیل شده است. برای نوشتن این اتحاد، لازم است که به علامت عبارات مختلف دقت کنید. این موضوع در رابطه زیر به خوبی نشان داده شده است.

بنابراین برای نوشتن رابطه اتحاد چاق و لاغر به علامت‌های نشان داده شده در شکل‌های بالا به خوبی توجه کنید. نکته دیگر این است که این اتحاد را مجموع و تفاضل مکعبات دو جمله نیز می‌نامند.

اتحاد مزدوج

یکی از پرکاربردترین اتحادها در علم ریاضیات، اتحاد مزدوج است و کاربرد آن در مثال موجود در بخش قبل همین مطلب نیز به خوبی نشان داده شد. فرمول این اتحاد را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

اتحاد جمله مشترک

اتحاد جمله مشترک یکی دیگر از اتحادهایی است که با دانستن آن، می‌توانید حاصل ضرب دو عبارت را به خوبی پیدا کنید و یا یک دو جمله‌ای را به راحتی به عوامل سازنده‌اش تجزیه کنید. این اتحاد و تجزیه صورت گرفته به وسیله آن، کاربرد زیادی در تجزیه کسرها، حل معادلات و همچنین محاسبه انتگرال دارد و رابطه آن را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

اتحاد بسط دو جمله‌ای نیوتن

در قسمت قبل، اتحاد مربع و مکعب دو جمله‌ای بیان شد. این حالت را می‌توان برای توان نیز تعمیم داد که به آن بسط دو جمله‌ای نیوتن گفته می‌شود. بسط دو جمله‌ای نیوتن را می‌توان برای مجموع دو جمله و تفاضل دو جمله، به شکل زیر نمایش داد.

برای نوشتن عبارت بالا به دو نکته توجه کنید. نکته اول علامت‌های موجود در دو رابطه بالا است و نکته دوم این است که مجموع توان a و b در هرکدام از جملات موجود در روابط بالا برابر با است.

اتحاد لاگرانژ

اتحاد لاگرانژ برای حالتی کاربرد دارد که با چهار متغیر سر و کار داریم. این چهار متغیر را می‌توان با نمادهای x ،b ،a و y نمایش داد.

نکته بسیار مهم دیگری که باید به آن توجه کرد این است که به جای هرکدام از چهار متغیر بالا ممکن است یک عدد قرار گرفته باشد. بنابراین باز هم می‌توان رابطه بالا را برای آن‌ها نوشت و تنها به جای متغیر نشان داده شده، عدد آن را قرار می‌دهیم.

اتحاد اویلر

اتحاد اویلر را می‌توان به شکل زیر بیان کرد.

توجه کنید که اتحاد اویلر را می‌توان به شکل دیگری هم نمایش داد که در رابطه زیر نشان داده شده است.

حالات خاص اتحاد اویلر بسیار پرکاربرد است. یکی از حالات خاص این اتحاد، زمانی است که مجموع سه متغیر b ،a و c برابر با صفر باشد. بنابراین اگر $$a b c = 0$$ باشد، داریم:

این رابطه با توجه به رابطه اول اویلر به دست آمده است. رابطه دیگری را نیز برای حالتی که سه متغیر b ،a و c با یکدیگر برابر باشند می‌توان بیان کرد. بنابراین با استفاده از رابطه دوم اویلر می‌توان نتیجه گرفت که اگر $$a = b= c $$ باشد، رابطه زیر برقرار است.

توصیه ما این است که روابط بیان شده را با ضرب عبارات داخل پرانتز محاسبه کنید و بارها و بارها اثبات آن را روی کاغذ برای خود بنویسید. نکته دیگری که باید به آن توجه کنید این است که به خاطر سپردن روابط بالا، تنها از طریق حل کردن مثال‌های متعدد توصیه می‌شود و اگر تنها خود فرمول را حفظ کنید، دردی از شما دوا نمی‌شود.

بنابراین برای استفاده از روش‌های اتحاد و تجزیه و همچنین حل مسائل مختلف، سه مرحله زیر را برای تجزیه روابط گوناگون رعایت کنید.

مثال‌ها

همانطور که اشاره شد، برای تسلط بر مبحث اتحاد و تجزیه باید مثال‌های متعددی را حل کنید. بنابراین در این بخش، چند مثال برای یادگیری کاربرد مفاهیم ذکر شده، آورده شده است.

مثال ۱

عبارت زیر را تجزیه کنید.

همانطور که مشاهده می‌شود، در عبارت اول این رابطه، توان چهارم حضور دارد، بنابراین احتمالا می‌توان کل رابطه را به شکل توان دو نیز بیان کرد. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

همانطور که مشاهده می‌شود، رابطه بالا مشابه با اتحاد مزدوج است. بنابراین آن را به فرم تجزیه و فاکتورگیری شده زیر بیان می‌کنیم.

با دقت به رابطه بالا متوجه می‌شویم که عبارت دوم در سمت راست معادله بالا نیز اتحاد مزدوج را نشان می‌دهد و می‌توان آن را ساده کرد. بنابراین با استفاده مجدد از این اتحاد و تجزیه عبارت فوق، رابطه بالا به شکل زیر در می‌آید.

این رابطه را می‌توان باز هم فاکتورگیری کرد ولی با ادامه فاکتورگیری، در نهایت به اعداد موهومی برخورد می‌کنیم که مورد نظر صورت سوال ما نیست.

مثال ۲

رابطه زیر را با استفاده از روابط ارائه شده در مبحث اتحاد و تجزیه به صورت حاصل ضرب عوامل سازنده‌اش بنویسید.

در ابتدا و با استفاده از روش ذکر شده در بخش فاکتورهای رایج، متوجه می‌شویم که عبارت ۳u در هر دو بخش رابطه بالا وجود دارد. بنابراین می‌توانیم از این عبارت به شکل زیر فاکتور بگیریم.

در ادامه با استفاده از اتحاد چاق و لاغر، رابطه $$u^3 – ۸v^3 $$ موجود در رابطه بالا را به فرم ضرب دو عبارت می‌نویسیم. این موضوع در رابطه زیر نشان داده شده است.

مثال ۳

رابطه زیر را تجزیه کنید.

در ابتدا با استفاده از فاکتورگیری، رابطه بالا را ساده می‌کنیم. همانطور که مشاهده می‌شود عبارت $$z^2$$ در دو عبارت اول مشترک است و عدد ۹ نیز در دو عبارت آخر مشاهده می‌شود. بنابراین رابطه فوق را می‌توان به شکل ساده شده زیر بیان کرد.

در رابطه بالا عبارت (z-1) بین هر دو عبارت مشترک است، بنابراین می‌توان رابطه بالا را به شکل ساده شده زیر بیان کرد.

همانطور که مشاهده می‌شود با استفاده از روندی که طی شد، رابطه صورت سوال به صورت ضرب دو عبارت نوشته شده است ولی همچنان این رابطه را می‌توان به شکل ساده‌تری نیز بیان کرد. با دقت به رابطه بالا متوجه می‌شویم که عبارت اول، فرمول اتحاد مزدوج را نشان می‌دهد. بنابراین داریم:

بنابراین با استفاده از فاکتورگیری‌های رایج و استفاده از اتحاد‌های گوناکون می‌توان روابط مختلف را به صورت حاصل ضرب چند عبارت در یکدیگر بیان کرد.

این مطلب ابتدا به صورت دقیق، مفهوم فاکتور را مورد بررسی قرار داد. سپس روش‌های فاکتورگیری رایج برای تجزیه یک رابطه، بیان شدند و با استفاده از مثال، شیوه استفاده از این روش‌ها نیز مورد مطالعه قرار گرفتند. در ادامه مطلب، اتحاد‌های مختلف موجود در ریاضیات و روابط آن‌ها بیان شدند و در نهایت به کمک چند مثال مفهومی، روند کلی برای حل مسائل اتحاد و تجزیه به صورت دقیق مورد مطالعه قرار گرفت.

نکته مهمی که باید به آن اشاره کرد این است که علاوه بر اتحادهای ذکر شده در این مطلب، اتحادهای دیگری نیز برای روابط مثلثاتی وجود دارند که در علم ریاضیات و هندسه بسیار مهم و کاربردی هستند. این اتحادها در مطالب بعدی وبلاگ فرادرس به صورت دقیق مطالعه می‌شوند.

در صورتی که به مباحث مرتبط در زمینه ریاضیات پایه علاقه‌مند هستید، آموز‌ش‌های زیر به شما پیشنهاد می‌شوند:

فرمول اتحاد جمله مشترک

    نظرات بسته شده اند